Olá, meus caros!

Retornando as atividades, responderemos a um questionamento de um leitor, que gostaria de saber como pode ser verificado a divisibilidade por um número, sem que para isso tenhamos que efetuar a divisão. Para nos ajudar a responder, contaremos com a colaboração do Professor Marcos Alves, que atualmente atua no IFMG Campus Ribeirão das Neves.

Jack Responde: Como identificar se um número é divisível por outro?

Por Marcos Alves de Farias (marcos.farias@ifmg.edu.br)

É no Ensino Fundamental que vemos os primeiros conceitos de divisibilidade e aprendemos que, de modo geral, um dado número é divisível por outro se no processo da divisão o resto obtido é zero. Neste caso é comum também dizer que a divisão é exata.

Por vezes é conveniente constatar se um número é divisível por outro, sem que para isso, a divisão seja efetuada. Para essas ocasiões, temos os chamados critérios de divisibilidade em que, como veremos, não se trata de uma única regra, que englobaria todos os casos. Na verdade, o critério depende do divisor e um estudo deve ser realizado caso a caso, havendo, portanto, infinitos critérios, sendo um para cada divisor.

Neste texto, apresentaremos critérios de divisibilidade para os números inteiros de 2 a 9 e trabalharemos apenas com números positivos, contudo, para os negativos tudo funciona de modo análogo.

Divisibilidade por 2

Critério: Um número é divisível por 2, apenas se ele for par.

Exemplos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ..., são todos divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3

Critério: Um número é divisível por 3, apenas se a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos: O número 243 é divisível por 3, pois 2+4+3=9 é divisível por 3. Já o número 244 não é divisível por 3, uma vez que 2+4+4=10 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Critério: Um número é divisível por 4, apenas se os seus 2 últimos algarismos representar um número divisível por 4.

Exemplos: O número 244 é divisível por 4, pois 44 é divisível por 4. Assim como 29812 também é divisível por 4, uma vez que 12 é divisível por 4.

Observação: Como a divisibilidade por 4 é assegurada pelos dois últimos algarismos, é relevante ter um critério adicional para se averiguar a divisibilidade por 4 para números de dois algarismos apenas.

Critério adicional: Um número de dois algarismos n=ab é divisível por 4, apenas se 2a+b for divisível por 4.

Exemplos: O número 96 é divisível por 4, pois 2×9+6=24 é divisível por 4. Logo, o número 91267296 é divisível por 4, pois 96 também é.

Divisibilidade por 5

Critério: Um número é divisível por 5, apenas se ele termina em 0 ou 5.

Exemplos: 0, 5, 10, 15, 20, 25 ..., são todos divisíveis por 5.

Divisibilidade por 6

Critério: Um número é divisível por 6, apenas se ele for divisível por 2 e por 3 também.

Exemplos: O número 2286 é divisível por 6. Pois, sendo par é divisível por 2 e, como 2+2+8+6=18 é divisível por 3, segue que 2286 é divisível por 3 também. Já 3094 e 1863 não são divisíveis por 6, pois o primeiro não é divisível por 3, uma vez que 3+0+9+4=16, e o segundo não sendo par, não é divisível por 2.

Divisibilidade por 7

Critério: Seja n=ab um número em que b representa o algarismo da unidade e a os demais algarismos do número, por exemplo:

• Se n=168, então a=16 e b=8.
• Se n=216, então a=21 e b=6.
• Se n=33684, então a=3368 e b=4.

Nestas condições, n é divisível por 7 apenas se a-2b for divisível por 7.

Exemplos: 

• 168 é divisível por 7, pois 16-2x8=0 é divisível por 7. Lembrando que 0 é trivialmente divisível por qualquer número inteiro não nulo.
• 216 não é divisível por 7, pois 21-2x6=9 não é divisível por 7.
• Para estudar a divisibilidade de 33684 por 7 observamos que 3368-2x4=3360, e, por sua vez, podemos decompor em novos a=336 e b=0, em que 336-2×0=336, então, por uma última uma vez, sendo a=33 e b=6, como 33-2×6=21 é divisível por 7, concluímos que 33684 será também divisível por 7. Observe que aqui aplicamos o critério três vezes seguidas até o momento em que identificamos a divisibilidade por 7.

Divisibilidade por 8

Critério: Um número é divisível por 8, apenas se os seus 3 últimos algarismos representar um número divisível por 8.

Exemplo: O número 32160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8.

Observação: Como a divisibilidade por 8 é assegurada pelos últimos 3 algarismos, é relevante ter um critério adicional para se averiguar a divisibilidade por 8 para números de três algarismos apenas.

Critério adicional: Um número de três algarismos n=abc é divisível por 8, apenas se 4a+2b+c for divisível por 8.

Exemplo: O número 160 é divisível por 8. Pois, 4×1+2×6+0=16 é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Critério: Um número é divisível por 9, apenas se a soma dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplos: O número 243 é divisível por 9, pois 2+4+3=9 é divisível por 9. Já o número 244 não é divisível por 9, uma vez que 2+4+4=10 não é divisível por 9.