Por Marcos Alves de Farias (marcos.farias@ifmg.edu.br)

É nos primórdios do Ensino Fundamental que iniciamos os estudos sobre as equações algébricas. As primeiras equações que aprendemos a resolver são as do primeiro grau, que são da forma $ax+b=0$, com $a\neq 0$. Para resolver tais equações simplesmente isolamos, via operações algébricas, a incógnita $x$, obtendo que $x=-\frac{b}{a}$.

As equações do segundo grau, que são da forma $ax^2+bx+c=0$, com $a\neq 0$, são vistas também no Ensino Fundamental e para resolvê-las podemos aplicar a famosa fórmula de Bhaskara

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$

que pela devida importância nos acompanha do Ensino Básico ao Superior. Contudo, é de se estranhar que em nossa jornada como estudantes muito pouco, ou quase nada, é falado sobre fórmulas de resolução para as  equações de grau três em diante. A questão que se coloca é se para essas equações existem fórmulas semelhantes a de Bhaskara para resolvê-las?

Para as equações de grau 3, que são da forma $ax^3+bx^2+cx+d=0$, com $a\neq 0$, Girolamo Cardano em 1545 publicou em seu livro de Álgebra, Ars Magna, as seguintes soluções, descobertas por Niccolo Fontana,

$$x_1=u+v-\frac{b}{3a}, \hskip.5cm x_2=\omega u+\omega^2 v-\frac{b}{3a}, \hskip.5cm x_3=\omega^2 u+\omega v-\frac{b}{3a},$$

em que $\omega$ correspondendo a qualquer uma das raízes cúbicas complexas não reais de 1 e

$$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\hskip.5cm e \hskip.5cm v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},$$

com $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$ e $q=\frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3}$. 

No mesmo livro em que Cardano apresenta as soluções da equação de terceiro grau, ele também apresenta as soluções, obtidas pelo seu discípulo Ludovico Ferrari, das equações de grau 4, que são da forma $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$, com $a \neq 0$. Para essas equações, Cardano escreve que suas quatro soluções são dadas por

$$x_{1,2}=\frac{-\sqrt{2u_0}\pm\sqrt{2u_0-4\left(\frac{p}{2}+u_0-\frac{q}{2\sqrt{2u_0}}\right)}}{2}-\frac{b}{4a},$$

e

$$x_{3,4}=\frac{\sqrt{2u_0}\pm\sqrt{2u_0-4\left(\frac{p}{2}+u_0+\frac{q}{2\sqrt{2u_0}}\right)}}{2}-\frac{b}{4a},$$

sendo que $p=\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}$, $q=\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}$, $r=\frac{e}{a}-\frac{db}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}$ e $u_0$ é qualquer uma das soluções da seguinte equação do terceiro grau em $u$

$$8u^3+8pu^2+(2p^2-8r)u-q^2=0.$$

Neste ponto pode-se observar que as soluções que apresentamos, sendo grande parte delas não trivial, o que explicaria a sua não abordagem no Ensino Básico, puderam ser expressas por meio das operações algébricas, que são: soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Para uma equação algébrica, quando a sua solução pode ser expressa por meio das operações algébricas, o que se permite estabelecer uma fórmula como as que apresentamos acima, a equação é dita ser solúvel por radicais, uma vez que a radiciação seria a última das operações algébricas utilizadas no processo.

A questão das equações de grau 5 levou mais de 300 anos para ser resolvida e a solução encontrada, por Paolo Ruffini em 1813, com algumas lacunas, e Niels Henrik Abel em 1824, foi que tais equações não são solúveis por radicais.

Por fim, a teoria unificadora que generalizou todos os resultados se deveu a Evariste Galois, em 1832, que num trabalho muito a frente de seu tempo demonstrou que, de modo geral, as equações algébricas de grau maior ou igual a 5 não são solúveis por radicais, ou seja, não é possível escrever fórmulas algébricas que expressem todas as soluções dessas equações.